Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma
Grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma dapat dibedakan menjadi dua, yaitu :
1. Untuk 0 < a < 1
Dari grafik fungsi (x) = dan g(x) = yang masing – masing merupakan grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma dengan bilangan pokok .
Fungsi (x) = (a)x
Daerah asalnya {x|x R}
Daerah hasilnya {y|y > 0, y R}
Sumbu-x asimtot datar
Grafik di atas sumbu-x
Memotong sumbu-y di titik (0,1)
Merupakan fungsi turun untuk setiap x
Fungsi g(x) = alog x
Daerah asalnya {x|x > 0, x R}
Daerah hasilnya {y|y R}
Sumbu-y asimtot tegak
Grafik di sebelah kanan sumbu-y
Memotong sumbu-x di titik (1,0)
Merupakan fungsi turun untuk setiap x
2. Untuk a > 1
Dari grafik fungsi (x) = 2x dan g(x) = 2log x yang masing – masing merupakan grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 2.
Fungsi (x) = (a)x
Daerah asalnya {x|x R}
Daerah hasilnya {y|y > 0, y R}
Sumbu-x asimtot datar
Grafik di atas sumbu-x
Memotong sumbu-y di titik (0,1)
Merupakan fungsi naik untuk setiap x
Fungsi g(x) = alog x
Daerah asalnya {x|x > 0, x R}
Daerah hasilnya {y|y R}
Sumbu-y asimtot tegak
Grafik di sebelah kanan sumbu-y
Memotong sumbu-x di titik (1,0)
Merupakan fungsi naik untuk setiap x
Contoh :
Gambarlah grafik fungsi y = 3x
Jawab :
Sifat – Sifat Fungsi Eksponen
Jika a dan b bilangan real (a ≠ 0, b ≠ 0), m dan n bilangan rasional maka berlaku sifat – sifat berikut :
am . an = am+n
= am-n
(am)n = amn
a-m =
(am . bn)p = amp . bnp
=
= =
ao = 1
Contoh :
Sederhanakanlah persamaan berikut (2x3 . y-5) (-2x-9 . y9)
Jawab :
(2x3 . y-5) (-2x-9 . y9) = (2x3) (-2x-9) (y-5) (y9)
= (2) (-2) x3 . x-9 . y-5 . y9
= -4 . x3-9 . y-5+9
= -4x-6 . y4
=
Persamaan Eksponen
Berikut ini adalah beberapa bentuk penyelesaian persamaan eksponen :
Jika af(x) = ap, a > 0 dan a ≠ 1, maka (x) = p
Jika af(x) = ag(x), a > 0 dan a ≠ 1, maka (x) = g(x)
Jika af(x) =bf(x) , a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 dan a ≠ b maka (x) =0
Jika (x)g(x)=(x)h(x), maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut :
g(x) = h(x)
(x) = 1
(x) = 0, asalkan g(x) dan h(x) keduanya positif
(x) = -1, asalkan g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
Jika A (af(x))2 + B . af(x) + C = 0, a > 0, a ≠ 1, A,B,C R, A ≠ 0
Pada bentuk persamaan ini misalkan y = af(x), sehingga diperoleh nilai x.
Jika ((x))g(x) = 1
Pada bentuk persamaan ini ada beberapa ketentuan yang diantaranya :
Bilangan pokok = 1, dengan syarat eksponen tidak sama dengan tak hingga atau (x)= 1 dan g(x) ≠ ∞.
Bilangan pokok = -1, dengan syarat eksponen genap atau eksponen merupakan bilangan pecahan dengan pembilang adalah bilangan genap dan penyebut bilangan ganjil.
Eksponen = 0, dengan syarat bilangan pokok ≠ 0.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari (2x)2 – 12 . 2x + 32 = 0
Jawab :
(2x)2 – 12 . 2x + 32 = 0
Misalkan y = 2x
y2 -12y + 32 = 0
(y – 8) (y – 4) = 0
y = 8 | y = 4
Untuk y = 8
y = 2x
8 = 2x
23 = 2x
x = 3
Untuk y = 4
y = 2x
4 = 2x
22 = 2x
x = 2
Jadi penyelesaiannya adalah x = 2 dan x = 3
Pertidaksamaan Eksponen
Dalam pertidaksamaan eksponen, sifat – sifat yang digunakan diantaranya :
Untuk a > 1, fungsi (x) = axmerupakan fungsi naik. Hal ini berarti, pada x1, x2 R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika (x1) <(x2).
Untuk 0 < a < 1, (x) = axmerupakan fungsi turun. Hal ini berarti, pada x1, x2 R berlaku x1 < x2jika dan hanya jika (x1) >(x2).
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
5-2x+2 + 74 . (5-x) – 3 ≥ 0
Jawab :
5-2x+2 + 74 . (5-x) – 3 ≥ 0
52 (5-2x) + 74 . (5-x) – 3 ≥ 0
25 (5-x)2 + 74 . (5-x) – 3 ≥ 0
Misalkan y = 5-x
25y2 + 74y – 3 ≥ 0
(25y – 1) (y + 3) ≥ 0
y ≤ -3 | y ≥
Untuk y ≤ -3
5-x ≤ -3
Tidak ada nilai x yang memenuhi
Untuk y ≥
5-x ≥
5-x ≥ 5-2
x ≤ 2
Jadi penyelesaiannya adalah x ≤ 2
Sifat – Sifat Fungsi Logaritma
Secara umum bentuk logaritma dapat dituliskan sebagai berikut :
ab = c ↔ alog c = b
dengan a > 0 dan a ≠ 1
Berikut ini adalah sifat – sifat dari fungsi logaritma :
alog 1 = 0
alog a = 1
alog an = n
alog b + alog c = alog (b . c)
alog b – alog c = alog
alog bm = m . alog b
= alog b
alog b =
=
= b
blog a =
Persamaan Logaritma
Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya sebagai numerus atau bilangan pokok dari suatu logaritma.
Misal :
2log (x + 8) + 2log (x + 1) – 2log (x + 56) = 0
Pada persamaan tersebut, merupakan persamaan logaritma yang numerusnya memuat variabel x. Nilai x yang menjadi anggota himpunan penyelesaian persamaan logaritma adalah nilai x yang menyebabkan :
Numerus pada persamaan semula positif.
Bilangan pokok logaritma pada persamaan semula positif dan tidak sama dengan satu.
Berikut ini adalah bentuk – bentuk persamaan logaritma yang diantaranya :
Jika alog (x) = alog p, (x) > 0, maka (x) = m
Jika alog(x) = blog(x), a ≠ b, maka (x) = 1
Jika alog(x) = alog g(x), a > 0, a ≠ 1,(x) > 0, g(x) > 0, maka (x) = g(x)
Jika f(x)log g(x) = f(x)log h(x), (x) > 0, g(x) > 0, h(x) > 0, (x) ≠ 1, maka g(x) ≠ h(x)
A plog2 (x) + B plog (x) + C = 0
Pada persamaan ini, misalkan y = plog (x).
Jika f(x)log a = g(x)log a, (x) > 0, g(x) > 0, (x) ≠ 1, g(x) ≠ 1, maka (x) = g(x)
Jika f(x)log g(x) = p, (x) > 0, g(x) > 0, (x) ≠ 1, maka g(x) = ((x))p
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
xlog (2x2 + 11x – 6) = xlog (x2 + 10x)
Jawab :
xlog (2x2 + 11x – 6) = xlog (x2 + 10x)
2x2 + 11x – 6 = x2 + 10x
x2 + x – 6 = 0
(x – 2) (x + 3) = 0
x = 2 | x = -3
Untuk x = -3
g(x) = 2x2 + 11x – 6
= 2 (-3) + 11 (-3) – 6
= -21
h(x) = x2 + 10x
= (-3)2 + 10(-3)
= -21
(untuk x = -3 tidak memenuhi syarat, karena g(x) dan h(x) harus lebih besar dari 0)
Untuk x = 2
g(x) = 2x2 + 11x – 6
= 2 (2)2 + 11 (2) – 6
= 24
h(x) = x2 + 10x
= (2)2 + 10(2)
= 24
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2}
Pertidaksaman Logaritma
Dalam pertidaksamaan logaritma, sifat – sifat yang digunakan diantaranya :
Untuk a > 1, fungsi (x) = alog x merupakan fungsi naik. Hal ini berarti, pada x1, x2 R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika (x1) < (x2).
Untuk 0 < a < 1, (x) = alog x merupakan fungsi turun. Hal ini berarti, pada x1, x2 R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika (x1) > (x2).
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berikut :
(2log x)2 – 3 2log x + 1 ≥ 2log x – 2
Jawab :
(i) Penyelesaian pertidaksamaan :
(2log x)2 – 3 2log x + 1 ≥ 2log x – 2
(2log x)2 – 4 2log x + 3 ≥ 0
(2log x – 1) (2log x – 3) ≥ 0
2log x ≤ 1 | 2log x ≥ 3
2log x ≤ 2log 2 | 2log x ≥ 2log 8
x ≤ 2 | x ≥ 8
Jadi penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma (2log x)2 – 3 2log x + 1 ≥ 2log x – 2 adalah 0 < x ≤ 2 atau x ≥ 8
Sumber : sandykaputra