Salah satu ilmu cabang matematika yang menjadi wajib untuk dipelajari adalah logika matematika. Ilmu ini menggabungkan ilmu logika dan ilmu matematika sebagai kuncinya dan merupakan landasan dasar untuk mengambil sebuah kesimpulan. Mempelajari ilmu ini sangat penting karena menjadi konsep dasar untuk menentukan benar atau salahnya sebuah kesimpulan.
Ada setidaknya 11 macam materi mengenai logika matematika yang akan dibahas dibawah ini. 11 materi tersebut adalah pernyataan, disjungsi, negasi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, kontradiksi, tautology, kalimat berkuantor, kalimat equivalen, dan penarikan kesimpulan. Berikut pembahasannya. Disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut juga sebagai pernyataan majemuk.
Pernyataan dibagi menjadi dua jenis, yaitu pernyataan terbuka dan pernyataan tertutup. Keduanya berbeda dari segi kepastiannya.
Pernyataan terbuka(kalimat terbuka) merupakan pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai kebenaran atau salahnya. Sedangkan pernyataan tertutup(kalimat tertutup) adalah adalah pernyataan yang sudah bisa dipastikan baik nilai benar maupun salahnya.
Contoh:
Pernyataan tertutup: 60 + 40 = 100 (benar) ; 200:4 = 60 (salah). Kedua pernyataan tersebut dapat dipastikan kebenaran dan kesalahannya.
Penyataan terbuka: Bapak Presiden akan mengunjungi Kota Makassar besok pagi (kalimat yang harus dibuktikan terlebih dahulu).
Ada satu pernyataan lagi yang disebut dengan pernyataan relatif. Pernyataan ini merupakan pernyataan yang bisa benar namun juga salah. Agar lebih memahaminya, berikut contohnya.
Pernyataan relatif: Musik pop merupakan musik yang menyenangkan (Merupakan pernyataan relatif karena tidak semua orang menyukai musik pop); Jarak Jakarta-Kualalumpur sangatlah jauh (Juga termasuk pernyataan relatif, karena sebagian orang mengatakan dekat karena bisa ditempuh kurang dari 2 jam perjalanan udara).
Pernyataan A: Semua sungai mengalir ke samudera
Negasi atau ingkaran dari pernyataan A: Tidak benar bahwa semua sungai mengalir ke samudera.
Negasi biasanya dinyatakan dengan symbol ~.
Untuk lebih jelasnya, silahkan perhatikan penjelasan dibawah ini.
Untuk p benar dan q benar, (p^q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p^q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p^q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p^q) == salah
Tabel Kebenaran Disjungsi
Berikut penjelasannya.
Untuk p benar dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p˅q) == salah
Untuk p benar dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇒q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p⇒q) = benar
Kesimpulannya adalah, dalam implikasi hanya dinyatakan salah jika pernyataan pertama benar, namun pernyataan kedua salah.
Agar lebih jelas, berikut pembahasan singkatnya.
Untuk p benar dan q benar, (p⇔q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p⇔q) = benar
Ekuivalensi biasanya ditampilkan dalam bentuk rumus, contohnya adalah seperti dibawah ini:
~(p^q) = p˅~q
~(p˅q) = p^~q
(p⇒q) = p˅~q
Agar lebih mudah dalam pemahamannya, berikut ringkasannya.
Diketahui sebuah implikasi p⇒q,
Maka konversnya adalah q⇒p
Inversnya adalah ~p⇒~q
Sedangkan untuk kontraposisinya adalah ~q⇒~p
Kuantor universal yang disebut juga kuantor umum adalah pernyataan yang menggunakan “untuk setiap” atau “untuk semua”. Simbol yang digunakan adalah x.
Contoh: Pernyataan “semua bunga adalah indah”. Maka notasinya adalah (∀x), [ B(x) → I(x) ]
Sedangkan kuantor eksistensial atau kuantor khusus adalah pernyataan yang menggunakan “beberapa”, “terdapat, dan “ada”. Simbol yang digunakan adalah Ǝx.
Contoh: pernyataan” Ada bunga yang jelek”. Maka notasinya adalah (Ǝx),Jx
p : semua bunga adalah indah
-p : semua bunga tidaklah indah.
Contoh:
Premis 1: Jika musim semi tiba, bunga mekar.
Premis 2: Musim semi tiba
Kesimpulan: Bunga mekar.
Premis 1: p→q
Premis 2: ~q
Kesimpulan: ~p
Contoh:
Premis 1: Jika musim dingin tiba, maka danau akan membeku.
Premis 2: Danau tidak membeku
Kesimpulan: Tidak sedang musim dingin.
Premis 1: p→q
Premis 2: q→r
Kesimpulan: p→r
Contoh:
Premis 1: Jika musim panas tiba, hutan akan kekeringan.
Premis 2: Jika hutan kekeringan maka pepohonan akan mati.
Kesimpulan: Jika musim panas tiba, maka pepohonan akan mati.
Pembahasan sederhana diatas diharapkan bisa membantu dalam memahami Matematika. Karena bagaimanapun juga, ilmu logika matematika sering digunakan dalam metode penelitian dan kegiatan akademik lainnya.
Ada setidaknya 11 macam materi mengenai logika matematika yang akan dibahas dibawah ini. 11 materi tersebut adalah pernyataan, disjungsi, negasi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, kontradiksi, tautology, kalimat berkuantor, kalimat equivalen, dan penarikan kesimpulan. Berikut pembahasannya. Disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut juga sebagai pernyataan majemuk.
Logika Matematika
Teori Singkat
Pernyataan
Pada dasarnya, dalam ilmu matematika pernyataan merupakan sebuah kalimat yang bisa dinyatakan sebagai pernyataan yang benar maupun salah, namun tidak bisa dinyatakan keduanya. Sebuah kalimat dapat dinyatakan sebagai pernyataan jika bisa ditentukan benar atau salahnya. Jika merupakan sebuah kalimat relative, maka tidak bisa ditentukan sebagai pernyataan.Pernyataan dibagi menjadi dua jenis, yaitu pernyataan terbuka dan pernyataan tertutup. Keduanya berbeda dari segi kepastiannya.
Pernyataan terbuka(kalimat terbuka) merupakan pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai kebenaran atau salahnya. Sedangkan pernyataan tertutup(kalimat tertutup) adalah adalah pernyataan yang sudah bisa dipastikan baik nilai benar maupun salahnya.
Contoh:
Pernyataan tertutup: 60 + 40 = 100 (benar) ; 200:4 = 60 (salah). Kedua pernyataan tersebut dapat dipastikan kebenaran dan kesalahannya.
Penyataan terbuka: Bapak Presiden akan mengunjungi Kota Makassar besok pagi (kalimat yang harus dibuktikan terlebih dahulu).
Ada satu pernyataan lagi yang disebut dengan pernyataan relatif. Pernyataan ini merupakan pernyataan yang bisa benar namun juga salah. Agar lebih memahaminya, berikut contohnya.
Pernyataan relatif: Musik pop merupakan musik yang menyenangkan (Merupakan pernyataan relatif karena tidak semua orang menyukai musik pop); Jarak Jakarta-Kualalumpur sangatlah jauh (Juga termasuk pernyataan relatif, karena sebagian orang mengatakan dekat karena bisa ditempuh kurang dari 2 jam perjalanan udara).
Negasi
Negasi dalam bahasa yang lebih sederhana adalah pernyataan ingkaran. Ingkaran biasanya dimulai dengan kata “todak benar bahwa…” untuk menyanggah kalimat sebenarnya. Agar lebih memahaminya, berikut contoh untuk kalimat negasi.Pernyataan A: Semua sungai mengalir ke samudera
Negasi atau ingkaran dari pernyataan A: Tidak benar bahwa semua sungai mengalir ke samudera.
Negasi biasanya dinyatakan dengan symbol ~.
Konjungsi
Dalam logika matematika, hukum konjungsi adalah benar hanya jika kedua pernyataan benar. Pernyataan akan salah jika salah satu pernyataan atau keduanya adalah salah. Dua pernyataan dalam konjungsi digabungkan dengan menggunakan tanda ^ yang berarti “dan”.Tabel Kebenaran Konjungsi
p | q | P ^ q | Logika matematika |
B | B | B | Jika p benar dan q benar maka p dan q adalah benar |
B | S | S | Jika p benar dan q salah maka p dan q adalah salah |
S | B | S | Jika p salah dan q benar maka p dan q adalah salah |
S | S | S | Jika p salah dan q salah maka p dan q adalah salah |
Untuk p benar dan q benar, (p^q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p^q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p^q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p^q) == salah
Disjungsi
Berbeda dengan sistem yang diterapkan pada konjungsi, disjungsi menggunakan symbol ˅ yang berarti “atau”. Hukum disjungsi adalah apabila salah satu dari dua pernyataan merupakan benar, maka hasilnya adalah benar. Namun jika keduanya salah, maka pernyataan dianggap salah. Tabel Kebenaran Disjungsi
p | q | P v q | Logika matematika |
B | B | B | Jika p benar dan q benar maka p atau q adalah benar |
B | S | B | Jika p benar dan q salah maka p atau q adalah benar |
S | B | B | Jika p salah dan q benar maka p atau q adalah benar |
S | S | S | Jika p salah dan q salah maka p atau q adalah salah |
Untuk p benar dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p˅q) == salah
Implikasi
Konsep implikasi adalah konsep penyesuaian. Dua pernyataan dihubungkan dengan symbol ⇒ yang berarti “Jika p… maka q…”. Berikut ini merupakan konsep dari implikasi untuk dipahami.Tabel Kebenaran Implikasi
p | q | p => q | Logika matematika |
B | B | B | Jika awalnya BENAR lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR |
B | S | S | Jika awalnya BENAR lalu akhirnya SALAH maka dianggap SALAH |
S | B | B | Jika awalnya SALAH lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR |
S | S | B | Jika awalnya SALAH lalu akhirnya SALAH maka dianggap BENAR |
Untuk p benar dan q salah , (p⇒q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p⇒q) = benar
Kesimpulannya adalah, dalam implikasi hanya dinyatakan salah jika pernyataan pertama benar, namun pernyataan kedua salah.
Biimplikasi
Biimplikasi merupakan pernyataan yang hanya akan menyatakan benar jika kedua pernyataan menyatakan kesamaan nilai, baik benar maupun salah. Maksudnya adalah, pernyataan dianggap benar jika keduanya sama-sama salah maupun sama-sama benar. Dalam logika matematika, untuk menyatakan biimplikasi adalah menggunakan symbol ⇔ yang memiliki arti ”p.. jika dan hanya jika q..”.Tabel Kebenaran Biimplikasi
p | q | p ó q | Logika matematika |
B | B | B | P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap benar) |
B | S | S | P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap salah) |
S | B | S | P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap salah) |
S | S | B | P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap benar) |
Untuk p benar dan q benar, (p⇔q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p⇔q) = benar
Ekuivalensi pernyataan majemuk
Setelah mengetahui materi dasar mengenai logika matematika, selanjutnya adalah mempelajari mengenai ekuivalensi pernyataan majemuk. Maksudnya adalah dua pernyataan majemuk yang berbeda namun memiliki nilai yang sama atau ekuivalen.Ekuivalensi biasanya ditampilkan dalam bentuk rumus, contohnya adalah seperti dibawah ini:
~(p^q) = p˅~q
~(p˅q) = p^~q
(p⇒q) = p˅~q
Konvers, invers, dan kontraposisi
Ketiga pernyataan konvers, invers dan kontraposisi merupakan pernyataan yang hanya berlaku untuk pernyataan implikasi saja. Setiap pernyataan implikasi memiliki ketiga pernyataan tersebut.Agar lebih mudah dalam pemahamannya, berikut ringkasannya.
Diketahui sebuah implikasi p⇒q,
Maka konversnya adalah q⇒p
Inversnya adalah ~p⇒~q
Sedangkan untuk kontraposisinya adalah ~q⇒~p
Kuantor pernyataan
Kuantor pernyataan merupakan sebuah bentuk dari pernyataan yang mengandung nilai kuantitas didalamnya. Ada dua jenis kuantor pernyataan, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.Kuantor universal yang disebut juga kuantor umum adalah pernyataan yang menggunakan “untuk setiap” atau “untuk semua”. Simbol yang digunakan adalah x.
Contoh: Pernyataan “semua bunga adalah indah”. Maka notasinya adalah (∀x), [ B(x) → I(x) ]
Sedangkan kuantor eksistensial atau kuantor khusus adalah pernyataan yang menggunakan “beberapa”, “terdapat, dan “ada”. Simbol yang digunakan adalah Ǝx.
Contoh: pernyataan” Ada bunga yang jelek”. Maka notasinya adalah (Ǝx),Jx
Ingkaran dari pernyataan kuantor
Sama seperti pernyataan, kuantor juga memiliki negasi atau ingkaran. Hukum negasi ini adalah bahwa negasi dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya. Sebagai contoh adalah:p : semua bunga adalah indah
-p : semua bunga tidaklah indah.
Penarikan kesimpulan
Penarikan kesimpulan merupakan materi terakhir dalam logika matematika. Kesimpulan bisa ditarik dari premis atau pernyataan yang telah ada. Ada tiga metode untuk melakukan penarikan kesimpulan.Modus ponens
Modus ponens mempunyai rumus: premis 1: p→q, premis 2: p, kesimpulan: q. Artinya jika diketahui p→q dan p, maka kesimpulannya adalah q.Contoh:
Premis 1: Jika musim semi tiba, bunga mekar.
Premis 2: Musim semi tiba
Kesimpulan: Bunga mekar.
Modus Tollens
Rumus:Premis 1: p→q
Premis 2: ~q
Kesimpulan: ~p
Contoh:
Premis 1: Jika musim dingin tiba, maka danau akan membeku.
Premis 2: Danau tidak membeku
Kesimpulan: Tidak sedang musim dingin.
Silogisme
Rumus:Premis 1: p→q
Premis 2: q→r
Kesimpulan: p→r
Contoh:
Premis 1: Jika musim panas tiba, hutan akan kekeringan.
Premis 2: Jika hutan kekeringan maka pepohonan akan mati.
Kesimpulan: Jika musim panas tiba, maka pepohonan akan mati.
Pembahasan sederhana diatas diharapkan bisa membantu dalam memahami Matematika. Karena bagaimanapun juga, ilmu logika matematika sering digunakan dalam metode penelitian dan kegiatan akademik lainnya.